I

Autor: Enzo R. Gentile

El profesor Enzo Gentile, Bien conocido en los medios educativos latinoamericanos por sus interesantes libros de algebra, ha escrito a petición de la Unión Panamericana esta obra de introducción a dicha materia.

Es inútil referirse a todas las cualidades de la monografía, que son muchas, pues pronto el lector las apreciara por si mismo. Pero si debe advertirse que, aun siendo elemental, el tratamiento es profundo, como lo requiere el estado presente de estas disciplinas. El autor no ha intentado cubrir abundante material, sino que se ha limitado a caracterizar lo esencial de las estructuras básicas del algebra. Sin embargo, todos los conceptos están ligados por principios unificadores de modo que una estructura sigue naturalmente a la otra en un proceso de evolución y de creciente diversificación. Gran parte de las ideas básicas están referidas a estructuras simples y sus morfismos: los monoides y los semigrupos. Estas ideas son objeto de sucesivas adaptaciones a medida que el desenvolvimiento de las estructuras lo exige a consecuencia de la definición de nuevas relaciones, tales como las de equivalencia, que conducen a las estructuras cocientes.

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II

Autor: Enzo R. Gentile

En nuestra primera monografía sobre Estructuras Algebraicas estudiamos las propiedades generales de las leyes de composición y las propiedades elementales de grupos y anillos. El material allí tratado constituye una introducción a temas de la llamada algebra moderna. Una forma natural de continuar este estudio podria ser profundizar los mismos temas. Por ejemplo, estudiar con más detalle la estructura de grupo, encarando los grupos finitos, los grupos de permutaciones, los teoremas de Sylow. Así mismo, se podría intensificar el estudio de ciertos ejemplos importantes de anillos, como son los anillos de polinomios, anillos de matrices, anillos noetherianos e ideales. Todo esto seria, sin dudas, una sana y estimulante labor a desarrollar. Sin embargo, nos parece mas interesante encarar un proyecto mucho mas ambicioso, que as el de hacer franca irrupción en el algebra moderna, mediante el desarrollo sistemático de la teoría de módulos. La estructura de modulo generaliza naturalmente las estructuras de grupo y anillo. Y así, los grupos abelianos y los espacios vectoriales constituyen ejemplos importantes de módulos.

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III

Autor: Horacio H. O’ Brien

Teoría de Grupos, del Profesor Horacio O’ Brien, presupone que el lector tiene los conocimientos básicos sobre grupos, los cuales han sido expuestos en las monografías, de esta misma colección, Estructuras Algebraicas I y II del Profesor Enzo Gentile.

Los temas tratados en esta monografía son una ampliación del Capítulo II, Estructura de Grupo, de la monografía citada, Estructuras Algebraicas I y versan sobre: G-Espacios, Grupos Simétricos, Teoremas de Sylow y Grupos Simples.

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IV

Autor: Orlando Villamayor, Artibano Micali

Esta monografía presenta una introducción al álgebra multilineal. En ella se presupone el conocimiento de los elementos del álgebra lineal, tal como se exponen en la monografía nos. 5 y 12 de esta serie.

El primer capítulo, de recapitulación, contiene algunos conceptos de álgebra lineal frecuentemente utilizados en el texto.
El segundo tiene por objeto la definición y estudio de las propiedades básicas del producto tensorial, a partir de la noción de aplicación mutilineal.

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V

Autor: Héctor Merklen

Esta monografía trata varios temas del Álgebra: Polinomios: Intuitivamente, los polinomios son símbolos construidos con letras y números ligados por las operaciones de adición, sustracción y multiplicación. Por ejemplo: X2 + Y2 + Z2 o X3 + 2X2 + 4X + 8 Aparecen con frecuencia al simbolizar términos algebraicos que implican variables lógicas. Su importancia es tal que justifica el desarrollo de una teoría matemática sobre ellos.

Extensiones de Dimensión Finita: Uno de los problemas centrales del álgebra es la resolución de ecuaciones de la forma P(X) = 0, (P ? R[X]) es decir, hallar los elementos de R, ?, tales que P (?) = 0. Este problema, en extremo difícil, no tiene una solución satisfactoria, como sería disponer de un algoritmo para obtener las raíces de P. Esto ni siquiera es posible en el caso más simple en que R es un cuerpo.

Ecuaciones: Si ? es una raíz de la unidad en E/ K, (?) es un subgrupo cíclico finito de (E,.). Si el orden de ? en este grupo es n, se dice que ? es una n – raíz primitiva sobre K (Nota: de hecho esto no depende de K, sino del cuerpo primo de K.)

Extensiones Infinitas: Uno de los axiomas de la matemática que ha provocado más discusiones es el siguiente: Axioma de elección. Todo producto cartesiano de una familia no vacía de conjuntos no vacíos, es no vacío. El análisis lógico ha permitido establecer, en primer lugar, que el axioma de elección es independiente de los axiomas usuales de la matemática. En segundo lugar, que el axioma de elección es lógicamente equivalente a otras numerosas proposiciones pertenecientes a diversas teorías. Si bien algunas de ellas no son intuitivas, su importancia es enorme. Como consecuencia, hay una diferencia tremenda entre la matemática no – Zermeliana (que no acepta el axioma de elección) y la matemática Zermeliana (que sí lo acepta). La matemática Zermeliana constituye, en exceso, la mayor parte de la matemática actual.

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VI

Autor: Francisco Pincoya H.

La presente monografía es una introducción a la teoría algebraica de formas cuadráticas sobre cuerpos de características distinta de 2.

En la selección de los temas se ha supuesto que el lector conoce los principales temas tratados en las monografías de la subserie de álgebra de esta colección, así como tiene algunas nociones topológicas expuestas en la monografía no. 9 de la misma colección (serie de matemática).

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VII

Autor: Artibano Micali

Si tuviéramos que fijar una fecha para el origen de las matemáticas que se presentan en este fascículo, no hay la menor duda de que lo situaríamos en 1843, a partir de la construcción, por W. R. Hamilton (1805-1865), del primer ejemplo de un cuerpo no conmutativo: el cuerpo de los cuaternios. Las ideas de Hamilton tuvieron importantes consecuencias como, por ejemplo, la elaboración axiomática del álgebra lineal, cuyos principios fueron enunciados en forma general B. Pierce, en 1870. Además, el carácter no conmutativo de las operaciones de Hamilton ha constituido un valioso aporte a la noción de ley de composición. Esta monografía es una introducción a la teoría de álgebras centrales simples o álgebras de Azumaya sobre un cuerpo, destinada a despertar en algunos jóvenes el deseo de conocer una de las más hermosas teorías matemáticas hasta hoy construida: la teoría de álgebras de Azumaya.

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